С молодых лет у Александра Свешникова обнаружились незаурядные организаторские способности. После Октябрьской революции, в период строительства новой жизни, он быстро проявил себя великолепным организатором музыкального процесса.
В 1923–1928 гг. стал заведующим вокальной частью 2-й студии МХАТа (художественный руководитель И.Н. Берсенев), одновременно был одним из самых известных в Москве церковных регентов.
С 1928 г. — художественный руководитель организованного им вокального ансамбля (затем хора) Всесоюзного радиокомитета.
В 1936–1937 художественный руководитель Государственного хора СССР, в 1937–1941 — Ленинградской академической капеллы.
С 1942 возглавлял организованный им Государственный хор русской песни (позднее — Государственный академический русский хор СССР, носящий его имя).
В 1944 г. организовал и стал художественным руководителем Московского хорового училища (позже преобразовано в Академию хорового искусства).
С 1944 по 1974 преподавал в Московской консерватории*.
*1944–1948 декан дирижерско-хорового факультета, с 1946 профессор, 1948–1974 ректор.
Главный дирижер ряда Московских праздников песни. Организатор и председатель Всероссийского хорового общества, член жюри Международного конкурса им. П.И. Чайковского по разделу вокального искусства (1966, 1970, 1974).
Хормейстер, художественный руководитель и главный дирижер молодежного хора Шеньчжэнь «Золотой колокол», директор Китайского отделения Всемирной ассоциации молодежных и детских хоровых коллективов, заместитель председателя комитета детских хоров Китая, вице-президент ассоциации хоров провинции Гуандун, вице-председатель хоровой ассоциации Шеньчжэня, победитель национальной премии Китая «Лучший преподаватель»
